בְּמִדְבַּר

Les carrés magiques et autres figures dites "magiques" (rectangles, cubes, hypercubes, étoiles, etc..) sont un thème privilégié d'investigation parce qu'il se trouve au carrefour des traditions mystiques, cabbalistiques et "ésotériques", d'une part, et de la science moderne de la théorie des nombres d'autre part, et notamment de cette partie qui traite de la combinatoire et des arrangements de nombres.

D'autre part, on ne peut bien sûr que reconnâitre, voire "avouer", la fascination qu'exerce sur l'esprit humain, depuis plus de 4000 ans avec la Chine ancienne, la beauté mystérieuse et occulte de ces arrangements de nombres, dûe aux nombreuses symmétries qu' ils recèlent.

Cette beauté n'est pas antagoniste de la vérité et de la fécondité scientifique, puisque d'après le physicien Etienne Klein, les mathématiques qui sont le plus utiles en physique sont celles qui dévoilent et expliquent le plus de symmétries possibles : la théorie des groupes notamment.

La figure de l'hexagone magique montrée ici fut trouvée par Clifford Adams après 47 ans de recherches acharnées.

On raconte que par malheur il égara le petit bout de papier sur lequel il avait inscrrit sa trouvaille et qu'il passa encore 5 ans pour retrouver.... le papier.

Cet hexagone magique est d'une beauté absolument enchanteresse, voir les explications ici :

http://mathworld.wolfram.com/MagicHexagon.html

ainsi que :

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/magic-hexagon-trigg

http://www.mathematische-basteleien.de/magichexagon.htm

http://www.math.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/magic-hexagon

http://naturalmaths.com.au/hexagonia/magic_history.htm

La constante dite "magique" de 38 se retrouve en sommant les colonnes, les lignes en montant ou descendant, par exemple :

38 = 10 + 12 + 16 = 9 + 14 + 15 = 14 + 8 + 4 + 12 = 17 + 7 + 2 + 12 = etc...

On note que cette constante est composée de 3 et 8, et que les nombres 8 et 13 sont accolés !!! voir aussi la place du 8, du 1 et du 3..

Une méditation fervente et régulière, pour tout dire une oraison mentale quotidienne devant ce prodigieux temple de nombres aidera sans doute à y découvrir bien d'autres secrets...

Le lien suivant, qui est un portion du site de Fred Richman ( http://math.fau.edu/richman/ ) permet de calculer pour des nombres assez grands les suites de sommes de diviseurs (en anglais : "aliquot sequences"):

http://math.fau.edu/richman/mla/aliquot.htm

Il permet aussi de décomposer immédiatement un nombre en facteurs premiers, et donc de voir s'il est premier.

Exemple : entrez 813 dans le cadre à gauche et cliquez sur "GO" en ayant coché "yes" à "See factors". Vous obtenez le résultat suivant :

1.	s(813)	=	275	3 271
2.	s(275)	=	97	52 11
3.	s(97)	=	1	97

La colonne de droite donne la décomposition en facteurs premeirs du nombre n dont on calcule la fonction s(n). ainsi dans cet exemple 3 et 271 sont les facteurs premiers de 813.

s(813) est la somme des diviseurs propres de 813, c'est à dire tous les entiers qui divisent 813 à l'exception de 813 lui même. Dans l'exemple il n'y en a que trois : 1, 3 et 271, et donc :

s(813) = 1 + 3 + 271 = 275.

 Et le processus continue avec s(275) = s(s(813)) etc... jusqu'à ce que l'on atteigne un nombre premier, dont la fonction s donne 1.

Si l'on clique sur "Consecutive" au lieu de "Go" on obtient la valeur de s pour 813 et les nombres suivants, avec la décomposition en facteurs premiers à chaque fois.

La séquence aliquote pour le nombre 3018 que nous cherchions hier ne converge pas semble t'il, en tout cas le programme se limite à 70 lignes, voici le résultat :

1.	s(3018)	=	3030	2 3 503
2.	s(3030)	=	4314	2 3 5 101
3.	s(4314)	=	4326	2 3 719
4.	s(4326)	=	5658	2 3 7 103
5.	s(5658)	=	6438	2 3 23 41
6.	s(6438)	=	7242	2 3 29 37
7.	s(7242)	=	8310	2 3 17 71
8.	s(8310)	=	11706	2 3 5 277
9.	s(11706)	=	11718	2 3 1951
10.	s(11718)	=	19002	2 33 7 31
11.	s(19002)	=	19014	2 3 3167
12.	s(19014)	=	19026	2 3 3169
13.	s(19026)	=	28398	2 32 7 151
14.	s(28398)	=	28410	2 3 4733
15.	s(28410)	=	39846	2 3 5 947
16.	s(39846)	=	42954	2 3 29 229
17.	s(42954)	=	42966	2 3 7159
18.	s(42966)	=	76842	2 32 7 11 31
19.	s(76842)	=	94038	2 33 1423
20.	s(94038)	=	121002	2 3 7 2239
21.	s(121002)	=	166230	2 3 7 43 67
22.	s(166230)	=	266202	2 32 5 1847
23.	s(266202)	=	336582	2 32 23 643
24.	s(336582)	=	446778	2 33 23 271
25.	s(446778)	=	521280	2 32 24821
26.	s(521280)	=	1281612	26 32 5 181
27.	s(1281612)	=	1708844	22 3 106801
28.	s(1708844)	=	1378324	22 31 13781
29.	s(1378324)	=	1153996	22 37 67 139
30.	s(1153996)	=	865504	22 288499
31.	s(865504)	=	1030544	25 17 37 43
32.	s(1030544)	=	1035916	24 29 2221
33.	s(1035916)	=	1035972	22 7 36997
34.	s(1035972)	=	1957564	22 32 7 4111
35.	s(1957564)	=	1992004	22 7 151 463
36.	s(1992004)	=	1992060	22 7 71143
37.	s(1992060)	=	5749380	22 33 5 7 17 31
38.	s(5749380)	=	16632252	22 35 5 7 132
39.	s(16632252)	=	35122724	22 32 7 13 5077
40.	s(35122724)	=	42173404	22 7 13 47 2053
41.	s(42173404)	=	48662404	22 7 13 115861
42.	s(48662404)	=	48836284	22 7 733 2371
43.	s(48836284)	=	51988804	22 7 31 56263
44.	s(51988804)	=	53845946	22 72 265249
45.	s(53845946)	=	50110534	2 7 11 31 11279
46.	s(50110534)	=	25055270	2 25055267
47.	s(25055270)	=	20044234	2 5 2505527
48.	s(20044234)	=	15667766	2 73 61 479
49.	s(15667766)	=	7833886	2 7833883
50.	s(7833886)	=	4717154	2 29 31 4357
51.	s(4717154)	=	2938774	2 13 397 457
52.	s(2938774)	=	1482746	2 359 4093
53.	s(1482746)	=	741376	2 741373
54.	s(741376)	=	749386	212 181
55.	s(749386)	=	531062	2 11 23 1481
56.	s(531062)	=	395758	2 72 5419
57.	s(395758)	=	251882	2 11 17989
58.	s(251882)	=	125944	2 125941
59.	s(125944)	=	166376	23 7 13 173
60.	s(166376)	=	190264	23 7 2971
61.	s(190264)	=	187736	23 17 1399
62.	s(187736)	=	176104	23 31 757
63.	s(176104)	=	154106	23 22013
64.	s(154106)	=	85114	2 29 2657
65.	s(85114)	=	42560	2 42557
66.	s(42560)	=	79360	26 5 7 19
67.	s(79360)	=	117056	29 5 31
68.	s(117056)	=	126784	26 31 59
69.	s(126784)	=	161760	26 7 283
70.	s(161760)	=	349296	25 3 5 337

si l'on veut continuer en relançant le programme pour le dernier résultat obtenu, à savoir 349296 il sort un message indiquant que cela ne plait pas du tout à Internet Explorer. Reste la possibilité de continuer au coup par coup, en cliquant non sur "Go" mais sur "Consecutive", ce qui donne :

349296

603024

abundant

24 3 19 383

603024

1048656

abundant

24 3 17 739

1048656

2048368

abundant

24 3 7 3121

etc..etc..etc...

La notion intitulée en anglais "aliquot sequence" est expliquée sur les deux liens suivants (entre autres) qui contiennent de plus de nombreuses références :

http://en.wikipedia.org/wiki/Aliquot_sequence

http://www.aliquot.de/aliquote.htm

Il s'agit d'une suite d'entiers dont chaque terme est la somme des diviseurs propres du terme précédent. Par diviseurs propres de n on entend tous les nombres qui divisent n à l'exception de n lui même. Si on écrit s(n) pour cette somme (le deuxième site cité plus haut emploie la notation i(n)) on a donc :

                  s(n) = σ(n) - n

Prenons un exemple simple , en partant du nombre 4 : ses diviseurs propres sont 1 et 2. On a donc :

          s(4) = 2 + 1 = 3

Puis on itère et on prend comme terme suivant : s(s(4)) = s(3) = 1. Et la suite se termine donc au troisième terme : 4, s4) = 3, 1.

Par contre si l'on avait pris 6, qui est un nombre parfait, comme premier terme, on aurait une suite infinie, composée de 6 se suivant indéfiniment, puisque l'on a :

                   s(6) = 6

Pour d'autres nombres, comme les nombres amiables, on a aussi une suite infinie, composée de cycles de période 2; ainsi par exemple les nombres 220 et 284 sont tels que : s(220) = 284 et s(284) = 220. La suite associée à 220 sera donc : 220, 284, 220, 284, etc... à l'infini.

D'autres nombres sont dits sociables et donnent lieu à des cycles plus longs ; on connait de nombreux exemples de cycle de 5 ou autres; par exemple 1264460 donne la suite périodique :

                    1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, etc...

D'autres nombres encore ne sont ni parfaits, ni amiables, ni sociables, mais abouitissent au bout d'un certain nombre d'itérations à un tel nombre, et la suite associée devient donc périodique à partir de ce rang; ainsi par exemple le nombre 95 donne:

                                95, 25, 6, 6, 6, 6,....

De tels nombres sont dits : aspirants.

Les suites de nombres amiables et aspirants sont données sur le site de Sloane aux url suivants :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A063990

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A063769

Une suite dite "aliquot sequence" peut donc se terminer des façons suivantes :

- soit par un nombre premier, suivi d'un 1 (puisque si p est premier, s(p) =1)

-soit par la répétition indéfinie du même nombre (dans le cas d'un nombre parfait)

-soit par une suite périodique

Peut il exister des suites qui se prolongent à l'infini de manière non périodique ? c'est une conjecture, appelée de manière malheureuse "conjecture de Catalan" , car il y a une autre conjecture de Catalan bien plus célèbre qui n'a rien à voir, et n'est d'ailleurs plus une conjecture mais un théorme depuis 2002, qu'il n'existe pas de telles suites.

Mais on n'a pas pu la démontrer encore, et il existe des nombres pour lesquels on a des doutes : en, dessous de mille, il en existe cinq, dits les "cinq de Lehmer" :

276, 552, 564, 660, and 966

Ces nombres donnent des suites qui ne se terminent pas, en poussant les limites de calcul des ordinateurs au maximum;ainsi pour le premier d'entre eux, soit 276, cela donne :

http://www.aliquot.de/sequenzen/276.elf

jusqu'au rang 1566... après on ne sait plus !

Le nombre 138 a longtemps été un candidat sérieux, mais il a été montré que la suite atteint un maximum obtenu pour  s¹¹⁷(138) = 2x61x929x1587569, puis décroît ensuite jusqu'à  s¹⁷⁷(138) = 1.

Or 276 est le double de 138; et 552 est le double de 276.

 Passons maintenant au nombre 276, qui semble assez remarquable.

L'article suivant, qui est en allemand, et d'orientation anthroposophique (le mouvement, considéré par certains comme une secte, fondé par Rudolf Steiner), souligne certaines caractéristiques étranges de ce nombre, qui semble avoir été reconnu dès la plus haute antiquité pour son "symbolisme" :

http://www.aliquot.de/chartres/chartres.htm

ainsi le labyrinthe de la cathédrale de Chartres compte 276 dalles !

Et c'est le cas d'autres labyrinthes "sacrés", voir  : http://enugmis.wordpress.com/2007/03/06/enugmis-11-lenigme-des-labyrinthes-du-moyen-age/

qui cite un certain nombre de cathédrales d'Europe du XIIème siècle, dont les labyrinthes se composent tous de 11 anneaux, et de 276 dalles.

276 est le nombre triangulaire de 23, c'est à dire la somme des nombres jusqu'à 23:

          276 = 23x24/2 = 1 + 2 + 3 +.... + 21 + 22 + 23

De même que 153,  somme des nombres de 1 à 17, apparaît dans l'Evangile de Jean lors de la "pêche miraculeuse", 276 apparaît dans les "Actes des apôtres", au chapitre 27, verset 37 : Paul et ses compagnons sont emmenés prisonniers sur un bateau qui vogue vers l'Italie, mais ils traversent une tempête; Paul, auquel un ange apparaît pour lui promettre que lui et tous ses compagnons auront la vie sauve, car "c'est la volonté de dieu qu'il comparaisse devant l'Empereur", rassure ses compagnons et les engage à prendre de la nourriture :

 "tous alors, reprenant courage, s'alimentèrent à leur tour; au total, nous étions 276 personnes à bord"

J'ai fait remarquer que 276 est le double de 138 = 6x 23.

or les nombres composés des chiffres 1,3 et 8 ont des propriétés remarquables : ils font leur apparition dans  les 183 "univers" de la plaine de vérité de Plutarque, les 318 hommes qui figurent dans un épisode de "Genèse", le titre "813" du célèbre roman de Maurice Leblanc, grand amateur d'occultisme. Voir :

http://membre.oricom.ca/sdesr/nb318.htm 

http://2012.over-blog.org/article-31052769.html

pour le nombre 318.

Passons maintenant à des propriétés d'ordre plus mathématique des nombres 276 et 23 (276 étant le triangulaire associé à 23).

23 est premier, et l'on sait qu'à tout nombre premier p correspond un anneau Z_p des résidus modulo p qui est un corps dans le cas où p est premier. Expliquons très sommairement ces points.

Deux entiers sont congrus modulo p  :  a ≡ b (p) si la différence (a-b) est divisible par p. Cette relation de congruence est une relation d'équivalence, et l'on peut donc former des classes d'équivalence. Ces classes d'équivalence, qui par définition sont au nombre de p, seront les membres du nouvel anneau (qui est un corps) Z_p . Et l'on procèdera aux opérations d'addition et de multiplication qui donneront la structure d'anneau ou de corps de manière évidente.

prenons l'exemple concret de Z₂₃  : la classe d'équivalence de 3 sera composée de tous les nombres entiers congrus à 3 modulo 23, c'est à dire les entiers de la forme 3 + 23 k (où k prend toutes les valeurs entières, positives ou négatives). La classe de 23 sera notée 0, ce sera l"élément neutre de l'addition. On montre (grâce à l'identité de Bezout) que tout élément, excepté 0, a un inverse pour la multiplication : Z₂₃ est donc un corps, on vérifie facilement toutes les conditions d'associativité, de distributivité, etc...de plus, il s'agit d'un corps commutatif (cad commutatif pour la multiplication) d'après le célèbre théorème de Wedderburn qui affirme que tout corps fini est commutatif, et que son nombre d'éléments est de la forme p^f , avec p premier.

Dans tout corps, et notamment dans tout corps Z_p , le groupe multiplicatif Z_p^*  (qui comprend les éléments inversibles, c'est à dire non nuls) est cyclique : on appelle racines primitives les générateurs de ce groupe, c'est à dire les éléments g tels que tout élément du groupe soit de la forme g^r ; il est facile de voir que les éléments du groupe  Z_p^* , qui sont au nombre de (p-1), sont : 1 = g⁰  = g^p-1, g , g² ,...., g^p-2  . On montre que les racines primitives sont au nombre de φ(p-1), qui désigne le nombre d'entiers compris entre 1 et p-2 qui sont relativement premiers à p-1, c'est à dire n'ont aucun facteur commun avec p-1.

Les racines primitives sont utilisées par plusieurs auteurs spécialisés dans l'ésotérisme des nombres ou arithmosophie, particulièrement par l'auteur qui se fait appeler Dom Neroman , et qui a écrit plusieurs ouvrages très intéressants comme "La leçon de Platon", "La plaine de vérité" ou "Le nombre d'or".

Mais on peut lui reprocher de ne pas expliquer, même sommairement comme nous le faisons ici, le mécanisme mathématique qui est "derrière" les phénomènes qu'il montre et qu'il désigne comme "magiques" ; il appelle les groupes multiplicatifs Z_p^*  dont nous avons parlé des "roues magiques".

Il existe donc des roues magiques pour chaque nombre premier (en fait plus généralement pour chaque nombre de forme p^a  ou 2p^a mais ceci ne nous intéresse pas ici), une roue magique est associée à chacun des "générateurs", ou racines primitives, dont nous avons parlé.

Ainsi , comme 23 et 29 sont premiers, il existe des roues magiques à 22 et 28 cases : elles sont utilisées par les arithmosophes pour étudier le sens qu'il disent "secret" des alphabets hébreu et arabe, et donc de la Bible et du Coran.

Comme 277 est premier, il existe une roue magique 276, comprenant plusieurs versions , une pour chaque "racine primitive".

Or, la spécificité de 23 et de Z₂₃ est que la racine primitive minimale de 23 est 5, alors que pour tous les nombres premiers précédents les racines primitives minimales sont 2 ou 3.

La "roue magique" 23 correspondant à la racine primitive 5, qui comprend 22 cases ou "rayons", est de la forme : 1,5, 5² = 2 (puisque 25 - 23 = 2), 5³ = 10, 5⁴ = 50 = 4 (puisque 50 est congru à 4 modulo 23) etc...

Vous pouvez faire le calcul, les puissances successives de 5 (prises modulo 23) donnent toutes les valeurs de 1 à 22 (22 qui est aussi 5¹¹ ), jusqu'à revenir  à 1 avec : 5²²  .

 Quel est le sens de ceci ? rien de moins que de ramener la suite indéfinie des entiers à un nombre fini de classes d'équivalence, à hauteur de la raison humaine. On peut associer l'univers indéfini des entiers au cosmos "euclidien" infini, et les "univers" finis Z_p aux cosmos "pythagoriciens" "locaux".

D'une façon analogue, Bell associe à chaque "topos" ce qu'il appelle une "théorie locale" des ensembles, et situe cette avancée spirituelle en mathématiques en liaison avec la révolution relativiste en physique.

 Il y a, chez les arithmosophes sérieux (comme Abellio, Neroman, Ernst Bindel l'anthroposophe, ou d'autres) des "visons intuitives" très intéressantes, qui ne sont pas à négliger.

Mais tout l'esprit du travail développé ici consiste à considérer comme "supérieure" à ces considérations "symboliques" la science véritable qu'est la théorie des nombres, qui s'appuie sur un véritable labeur mathématique de démonstration.

Nous ne voulons pas nous cantonner dans la pure théorie arithmétique, puisque le "but" (si l'on peut employer ce terme) de la Mathesis universalis (dont nous cherchons un accès "premier" dans les Nombres) est religieux-spirituel, et non pas technico-scientifique, mais il s'agit pour nous de "créer" une nouvelle "science spirituelle" des nombres en nous appuyant sur la théorie mathématique, sans négliger, ignorer ou mépriser ses aspects les plus techniques, et leur fascinante difficulté.

Seul Raymond Abellio travaille avec un esprit analogue, sans doute est ce dû à ses études à Polytechnique, mais il ne va pas très loin dans l'étude mathématique, et retombe vite dans des considérations "qabbalistiques" qui pour nous sont dépassées.

La science moderne (européenne, née en Europe au 17 ème siècle)  est par essence supérieure à tous les systèmes anciens orientaux, quelle que puisse être la valeur de ceux ci. Mais je m'en expliquerai plus à fond dans un autre article à venir.

Et pour finir en beauté, une petite concession au mystère : j'ai parlé plus haut des propriétés surprenantes des nombres formés avec les trois chiffres 1,8 et 3, en commençant par 138 , et 813.

Je rappelle par exemple que 8 et 13 sont des termes adjacents de la suite de Fibonacci, caractérisée par la relation de récurrence :

                           a_n  =  a _n-1  + a_n-2

qui intervient dans de multiples domaines mathématiques, et qui est donnée ici :  http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000045

Les cinq nombres de Lehmer (Lehmer five) dont les séquences aliquotes n'ont pas de fin connue à ce jour sont :

 276 = 2x 138, 552 = 2x 276, 564, 660 et 966.

Ce sont les cinq seuls nombres inférieurs à 1000 ayant cette propriété : http://www.aliquot.de/lehmer.htm

Si l'on fait leur somme on trouve : 3018 !!!!!!!!!!!

toujours 1,8 et 3....

Et il existe une "roue magique" à 3018 termes, car 3019 est un nombre premier, comme vous pouvez le vérifier sur le site de Sloane :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000040 (nombres premiers)

http://www.research.att.com/~njas/sequences/a000040.txt (liste donnant les nombres premiers ayant le rang 1 à 100000).

3019 est le 433 ième nombre premier, et 433 est le 84 ième nombre premier.

Et 813 = 433 + 380 .... toujours 3 et 8.

Quant à 3018, il sera intéressant d'étudier la roue magique, oups pardon le groupe multiplicatif correspondant, ainsi que la séquence aliquote : la décomposition de 3018 en facteurs premiers est : 2 x 3 x 503, donc la sommes des diviseurs propres est :

                s(3018) = 1 + 2 + 3 + 6 + 503 + 1006 + 1509 = 3030   !!!!!  (le nombre 3018 est abondant, sa sommes des diviseurs propres le dépasse de 12 : 12 qui est le premier nombre abondant !!!).

Si l'on analyse un peu plus loin, on est conduit aux nombres de la forme 6p, où p est premier, qui ont tous cette propriété que :

                                                 s(n) = n + 12

A continuer, en notant que 3030 = 2 x 1515 et que les propriétés symboliques du nombre 515 sont nombreuses, et ont même fait l'objet d'un livre ( ce nombre est cité par Dante en particulier).

D'ailleurs 515 = 1 + 2 + 3 + 6 + 503 (les diviseurs premiers de 3018 , plus 6 et 1)

enfin, assez plaisamment, 3018 est relié à 2012, l'année qui marque la fin du calendrier Maya et qui d'après de nombreux "ésotéristes" signera la fin de notre humanité actuelle (mais ce sont sans doute des balivernes), 2012 qui a été choisie pour nommer ce blog : http://2012.blogg.org

3018 = 3 x 1006 = 6x 503  ; 2012 = 4 x 503

Les nombres polygonaux sont formés de manière "géométrique", en ajoutant à un point (nombre 1) des points disposés en polygone : triangle pour les nombres triangulaires, carré pour les nombres carrés, etc... Ceci est expliqué sur :

http://mathworld.wolfram.com/PolygonalNumber.html

qui donne aussi la formule de calcul :

p^{r_{n =}} n/2 [(r-2)n - (r-4)]  pour le n-ième nombre polygonal d'ordre r (r= 3 pour les triangulaires, 4 pour les carrés, 5 pour les pentagonaux , etc..)

Pour les nombres hexagonaux , r = 6 :

http://mathworld.wolfram.com/HexagonalNumber.html

la formule donne bien : H_n = n(2n-1)

La suite des nombres hexagonaux est ici :  http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000384  :

 0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, etc..

Un concept tout différent est celui des nombres parfaits, qui sont les nombres égaux à la somme de leurs diviseurs . Le premier nombre parfait est 6 ; les diviseurs de 6 sont : 1,2 et 3, or 6 = 1 + 2 + 3.

L'on définit la fonction arithmétique σ comme somme des diviseurs d'un nombre en comptant le nombre lui même comme diviseur.

On a alors  σ (6) = 12 , et les nombres parfaits sont tels que : σ (n) = 2n

Les nombres parfaits commencent par : 6,28,496,8128, etc..., leur série est donnée ici :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000396

Les nombres parfaits pairs sont tous donnés par un formule connnue, qui a rapport avec les célèbres nombres de Mersenne:

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000225

qui sont les nombres de la forme : 2ⁿ - 1  . Quand un nombre de Mersenne est premier, ce qui se produit par exemple dans le cas de 7 , 31 ou 127, alors le nombre obtenu en multipliant par 2^(n-1) ce nombre de Mersenne (qui est égal à 2ⁿ -1 ) est parfait !

Les nombres parfaits pairs sont donc de la forme : 2^(n-1) (2ⁿ -1) , lorsque  2ⁿ -1 est premier.

On ignore encore s'il existe des nombres parfaits impairs, mais l'on pense que non, sans avoir pu encore le démontrer. Un théorème récent indique cependant que s'il en existe, ils doivent être supérieurs à 10³⁰⁰ , ce qui est énorme !

Un concept plus général est celui de nombre superparfait.

Est dit (m,k)-parfait un nombre n tel que la fonction sigma appliquée à n en itérant m fois est le produit de n par k. On note σ_{_m}

 la fonction obtenue en itérant sigma m fois : c'est à dire sigma(sigma(...(sigma(n)))) avec m itérations. Un nombre n est donc (m,k)-parfait si:   

                     σ_{_m} (n) = kn

Les nombres parfaits sont donc les nombres (1,2)-parfaits, les nombres superparfaits sont les nombres (2,2)-parfaits, leur liste est donnée par : 

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A019279

On vérifie alors que les nombres hexagonaux ayant un indice superparfait (appartenant à la série 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144 etc..) sont les nombres parfaits !!!

cela est facile à comprendre d'après la formule.

En admettant (ce qui n'est toujours pas démontré de nos jours) qu'il n'existe pas de nombres parfaits ou superparfaits impairs, il y a identité entre les deux séries : nombres parfaits et nombres hexagonaux d'indice les nombres (2,2)-parfaits.

Exercices : chercher des généralisations : ainsi un nombre (m,k)-parfait serait il un nombre hexagonal (ou polygonal d'un ordre plus général) ayant comme indice les nombres (m-1,k) parfaits ?

Les nombres généraux (m,k)-parfaits sont ils tous pairs ? (ceci est évidemment impossible à démontrer par nous, puisque ce serait une généralisation de la conjecture selon laquelle les nombres parfaits seraient tous pairs, qui n'a toujours pas été démontrée par les as de la mathématique mondiale) 

Deux articles sur arxiv :

http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0105/0105154v1.pdf

http://arxiv.org/abs/math/9811096

 

plus ceux ci, plus récents :

http://arxiv.org/find/math/1/au:+Alexandrov_L/0/1/0/all/0/1

Cela permet de classer les nombres premiers en une "matrice" à deux dimensions...

Pour chaque nombre composé p(0), auxquels on adjoint 1 (qui n'est pas considéré comme premier) on définit une suite infinie de nombres premiers définis la récurrence :

p(k+1) = pi (p(k))

où pi est la fonction qui au rang n associe le premier de rang n dans la suite des nombres premiers :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000040

Alexandrov montre dans le second article que cela donne exhaustivement les nombres premiers, sans répétitions

ainsi à 1 est associée la suite :  2 = p(1), 3 = p(2), 5 ,11,31,127 (on remarque 3 nombres premiers de Mersenne : 3,31 et 127 !!)

à 4 est associée :  7  17 59  277

à 6 :  13  41  179

 

à 8 :  19  67  331

Un colonne spéciale est celle qui suit immédiatement la colonne des nombres composés. elle commence par : 2,7,13,19

Une recherche sur le site de Sloane nous donne :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A007821

Quant à la première ligne de la matrice, associée à 1 : 2,3,5, 11,31,127

elle est donnée sur le site par :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A007097

Il est curieux de constater que si on enlève le 3 et ne retient que 2,5,11,31 on tombe sur plusieurs suites remarquables :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=2%2C5%2C11%2C31&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search

mais si l'on essaye en poursuivant avec 127 (donc 2  5 11 31 127) cela ne donne plus rien !!!

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