בְּמִדְבַּר

Deux articles sur arxiv :

http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0105/0105154v1.pdf

http://arxiv.org/abs/math/9811096

 

plus ceux ci, plus récents :

http://arxiv.org/find/math/1/au:+Alexandrov_L/0/1/0/all/0/1

Cela permet de classer les nombres premiers en une "matrice" à deux dimensions...

Pour chaque nombre composé p(0), auxquels on adjoint 1 (qui n'est pas considéré comme premier) on définit une suite infinie de nombres premiers définis la récurrence :

p(k+1) = pi (p(k))

où pi est la fonction qui au rang n associe le premier de rang n dans la suite des nombres premiers :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000040

Alexandrov montre dans le second article que cela donne exhaustivement les nombres premiers, sans répétitions

ainsi à 1 est associée la suite :  2 = p(1), 3 = p(2), 5 ,11,31,127 (on remarque 3 nombres premiers de Mersenne : 3,31 et 127 !!)

à 4 est associée :  7  17 59  277

à 6 :  13  41  179

 

à 8 :  19  67  331

Un colonne spéciale est celle qui suit immédiatement la colonne des nombres composés. elle commence par : 2,7,13,19

Une recherche sur le site de Sloane nous donne :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A007821

Quant à la première ligne de la matrice, associée à 1 : 2,3,5, 11,31,127

elle est donnée sur le site par :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A007097

Il est curieux de constater que si on enlève le 3 et ne retient que 2,5,11,31 on tombe sur plusieurs suites remarquables :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=2%2C5%2C11%2C31&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search

mais si l'on essaye en poursuivant avec 127 (donc 2  5 11 31 127) cela ne donne plus rien !!!

Le site "Integer sequences" permet de trouver de nombreuses séquences d'entiers, dont bien sûr les nombres premiers, les nombres de Fibonacci, etc... :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/

Ce site distingue des "ordres de nombres premiers" (orders of primeness) :

http://www.borve.org/primeness/FOP.html

Soit la suite des nombres premiers : http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000040

dont on dispose de la table du rang 1 jusqu'à 100000:

http://www.research.att.com/~njas/sequences/a000040.txt

On peut ne retenir que ceux, parmi les premiers, qui ont un rang qui est à son tour premier : cela donnera un sous-ensemble de nombres premiers, obtenu en éliminant tous ceux qui ont un rang composé (non premier)

Et on itère le processus : parmi ces derniers, on élimine tous ceux qui ont un rang composé, etc...

On obtient finalement un "crible" semblable au crible d'Erathostene , défini par la fonction F définie pour chaque nombre premier:

F(p) = 1 si p est premier de rang composé : 2, 7 13, 19, 23, 29, 37, 43, 47,...

F(p) = 2  si p est de rang premier mais pas de rang premier dans la nouvelle suite : (ce que l'on dira être "premier à l'ordre 2", traduisant ainsi l'anglais primeth prime) :  3, 17, 41, 67, 83, 109, 157, 191, 211

et ainsi de suite :

Primes with F(p)=3: 5, 59, 179, 331, 431, 599, 919, 1153, 1297,...

 Primes with F(p)=4: 11, 277, 1063, 2221, 3001, 4397, 7193, 9319, 10631, ...

 Primes with F(p)=5: 31, 1787, 8527, 19577, 27457, 42043, 72727, 96797,...

on obtient ainsi un criblage selon la valeur de F (qui varie de 1 à l'infini)

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