• pour calculer les suites de sommes de diviseurs (aliquot sequences)

    Par 20121 dans suites de nombres le 20 Mai 2009 à 18:23

    Le lien suivant, qui est un portion du site de Fred Richman ( http://math.fau.edu/richman/ ) permet de calculer pour des nombres assez grands les suites de sommes de diviseurs (en anglais : "aliquot sequences"):

    http://math.fau.edu/richman/mla/aliquot.htm

    Il permet aussi de décomposer immédiatement un nombre en facteurs premiers, et donc de voir s'il est premier.

    Exemple : entrez 813 dans le cadre à gauche et cliquez sur "GO" en ayant coché "yes" à "See factors". Vous obtenez le résultat suivant :

    1.   s(813)   =   275           3 271
    2.   s(275)   =   97           52 11
    3.   s(97)   =   1           97

    La colonne de droite donne la décomposition en facteurs premeirs du nombre n dont on calcule la fonction s(n). ainsi dans cet exemple 3 et 271 sont les facteurs premiers de 813.

    s(813) est la somme des diviseurs propres de 813, c'est à dire tous les entiers qui divisent 813 à l'exception de 813 lui même. Dans l'exemple il n'y en a que trois : 1, 3 et 271, et donc :

    s(813) = 1 + 3 + 271 = 275.

     Et le processus continue avec s(275) = s(s(813)) etc... jusqu'à ce que l'on atteigne un nombre premier, dont la fonction s donne 1.

    Si l'on clique sur "Consecutive" au lieu de "Go" on obtient la valeur de s pour 813 et les nombres suivants, avec la décomposition en facteurs premiers à chaque fois.

    La séquence aliquote pour le nombre 3018 que nous cherchions hier ne converge pas semble t'il, en tout cas le programme se limite à 70 lignes, voici le résultat :

    1.   s(3018)   =   3030           2 3 503
    2.   s(3030)   =   4314           2 3 5 101
    3.   s(4314)   =   4326           2 3 719
    4.   s(4326)   =   5658           2 3 7 103
    5.   s(5658)   =   6438           2 3 23 41
    6.   s(6438)   =   7242           2 3 29 37
    7.   s(7242)   =   8310           2 3 17 71
    8.   s(8310)   =   11706           2 3 5 277
    9.   s(11706)   =   11718           2 3 1951
    10.   s(11718)   =   19002           2 33 7 31
    11.   s(19002)   =   19014           2 3 3167
    12.   s(19014)   =   19026           2 3 3169
    13.   s(19026)   =   28398           2 32 7 151
    14.   s(28398)   =   28410           2 3 4733
    15.   s(28410)   =   39846           2 3 5 947
    16.   s(39846)   =   42954           2 3 29 229
    17.   s(42954)   =   42966           2 3 7159
    18.   s(42966)   =   76842           2 32 7 11 31
    19.   s(76842)   =   94038           2 33 1423
    20.   s(94038)   =   121002           2 3 7 2239
    21.   s(121002)   =   166230           2 3 7 43 67
    22.   s(166230)   =   266202           2 32 5 1847
    23.   s(266202)   =   336582           2 32 23 643
    24.   s(336582)   =   446778           2 33 23 271
    25.   s(446778)   =   521280           2 32 24821
    26.   s(521280)   =   1281612           26 32 5 181
    27.   s(1281612)   =   1708844           22 3 106801
    28.   s(1708844)   =   1378324           22 31 13781
    29.   s(1378324)   =   1153996           22 37 67 139
    30.   s(1153996)   =   865504           22 288499
    31.   s(865504)   =   1030544           25 17 37 43
    32.   s(1030544)   =   1035916           24 29 2221
    33.   s(1035916)   =   1035972           22 7 36997
    34.   s(1035972)   =   1957564           22 32 7 4111
    35.   s(1957564)   =   1992004           22 7 151 463
    36.   s(1992004)   =   1992060           22 7 71143
    37.   s(1992060)   =   5749380           22 33 5 7 17 31
    38.   s(5749380)   =   16632252           22 35 5 7 132
    39.   s(16632252)   =   35122724           22 32 7 13 5077
    40.   s(35122724)   =   42173404           22 7 13 47 2053
    41.   s(42173404)   =   48662404           22 7 13 115861
    42.   s(48662404)   =   48836284           22 7 733 2371
    43.   s(48836284)   =   51988804           22 7 31 56263
    44.   s(51988804)   =   53845946           22 72 265249
    45.   s(53845946)   =   50110534           2 7 11 31 11279
    46.   s(50110534)   =   25055270           2 25055267
    47.   s(25055270)   =   20044234           2 5 2505527
    48.   s(20044234)   =   15667766           2 73 61 479
    49.   s(15667766)   =   7833886           2 7833883
    50.   s(7833886)   =   4717154           2 29 31 4357
    51.   s(4717154)   =   2938774           2 13 397 457
    52.   s(2938774)   =   1482746           2 359 4093
    53.   s(1482746)   =   741376           2 741373
    54.   s(741376)   =   749386           212 181
    55.   s(749386)   =   531062           2 11 23 1481
    56.   s(531062)   =   395758           2 72 5419
    57.   s(395758)   =   251882           2 11 17989
    58.   s(251882)   =   125944           2 125941
    59.   s(125944)   =   166376           23 7 13 173
    60.   s(166376)   =   190264           23 7 2971
    61.   s(190264)   =   187736           23 17 1399
    62.   s(187736)   =   176104           23 31 757
    63.   s(176104)   =   154106           23 22013
    64.   s(154106)   =   85114           2 29 2657
    65.   s(85114)   =   42560           2 42557
    66.   s(42560)   =   79360           26 5 7 19
    67.   s(79360)   =   117056           29 5 31
    68.   s(117056)   =   126784           26 31 59
    69.   s(126784)   =   161760           26 7 283
    70.   s(161760)   =   349296           25 3 5 337

    si l'on veut continuer en relançant le programme pour le dernier résultat obtenu, à savoir 349296 il sort un message indiquant que cela ne plait pas du tout à Internet Explorer. Reste la possibilité de continuer au coup par coup, en cliquant non sur "Go" mais sur "Consecutive", ce qui donne :

    349296   603024     abundant           24 3 19 383

    603024   1048656     abundant           24 3 17 739

    1048656   2048368     abundant           24 3 7 3121

    etc..etc..etc...


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