Les nombres polygonaux sont formés de manière "géométrique", en ajoutant à un point (nombre 1) des points disposés en polygone : triangle pour les nombres triangulaires, carré pour les nombres carrés, etc... Ceci est expliqué sur :

http://mathworld.wolfram.com/PolygonalNumber.html

qui donne aussi la formule de calcul :

p^{r_{n =}} n/2 [(r-2)n - (r-4)]  pour le n-ième nombre polygonal d'ordre r (r= 3 pour les triangulaires, 4 pour les carrés, 5 pour les pentagonaux , etc..)

Pour les nombres hexagonaux , r = 6 :

http://mathworld.wolfram.com/HexagonalNumber.html

la formule donne bien : H_n = n(2n-1)

La suite des nombres hexagonaux est ici :  http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000384  :

 0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, etc..

Un concept tout différent est celui des nombres parfaits, qui sont les nombres égaux à la somme de leurs diviseurs . Le premier nombre parfait est 6 ; les diviseurs de 6 sont : 1,2 et 3, or 6 = 1 + 2 + 3.

L'on définit la fonction arithmétique σ comme somme des diviseurs d'un nombre en comptant le nombre lui même comme diviseur.

On a alors  σ (6) = 12 , et les nombres parfaits sont tels que : σ (n) = 2n

Les nombres parfaits commencent par : 6,28,496,8128, etc..., leur série est donnée ici :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000396

Les nombres parfaits pairs sont tous donnés par un formule connnue, qui a rapport avec les célèbres nombres de Mersenne:

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000225

qui sont les nombres de la forme : 2ⁿ - 1  . Quand un nombre de Mersenne est premier, ce qui se produit par exemple dans le cas de 7 , 31 ou 127, alors le nombre obtenu en multipliant par 2^(n-1) ce nombre de Mersenne (qui est égal à 2ⁿ -1 ) est parfait !

Les nombres parfaits pairs sont donc de la forme : 2^(n-1) (2ⁿ -1) , lorsque  2ⁿ -1 est premier.

On ignore encore s'il existe des nombres parfaits impairs, mais l'on pense que non, sans avoir pu encore le démontrer. Un théorème récent indique cependant que s'il en existe, ils doivent être supérieurs à 10³⁰⁰ , ce qui est énorme !

Un concept plus général est celui de nombre superparfait.

Est dit (m,k)-parfait un nombre n tel que la fonction sigma appliquée à n en itérant m fois est le produit de n par k. On note σ_{_m}

 la fonction obtenue en itérant sigma m fois : c'est à dire sigma(sigma(...(sigma(n)))) avec m itérations. Un nombre n est donc (m,k)-parfait si:   

                     σ_{_m} (n) = kn

Les nombres parfaits sont donc les nombres (1,2)-parfaits, les nombres superparfaits sont les nombres (2,2)-parfaits, leur liste est donnée par : 

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A019279

On vérifie alors que les nombres hexagonaux ayant un indice superparfait (appartenant à la série 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144 etc..) sont les nombres parfaits !!!

cela est facile à comprendre d'après la formule.

En admettant (ce qui n'est toujours pas démontré de nos jours) qu'il n'existe pas de nombres parfaits ou superparfaits impairs, il y a identité entre les deux séries : nombres parfaits et nombres hexagonaux d'indice les nombres (2,2)-parfaits.

Exercices : chercher des généralisations : ainsi un nombre (m,k)-parfait serait il un nombre hexagonal (ou polygonal d'un ordre plus général) ayant comme indice les nombres (m-1,k) parfaits ?

Les nombres généraux (m,k)-parfaits sont ils tous pairs ? (ceci est évidemment impossible à démontrer par nous, puisque ce serait une généralisation de la conjecture selon laquelle les nombres parfaits seraient tous pairs, qui n'a toujours pas été démontrée par les as de la mathématique mondiale)