• pour calculer les suites de sommes de diviseurs (aliquot sequences)

    Par 20121 dans suites de nombres le 20 Mai 2009 à 18:23

    Le lien suivant, qui est un portion du site de Fred Richman ( http://math.fau.edu/richman/ ) permet de calculer pour des nombres assez grands les suites de sommes de diviseurs (en anglais : "aliquot sequences"):

    http://math.fau.edu/richman/mla/aliquot.htm

    Il permet aussi de décomposer immédiatement un nombre en facteurs premiers, et donc de voir s'il est premier.

    Exemple : entrez 813 dans le cadre à gauche et cliquez sur "GO" en ayant coché "yes" à "See factors". Vous obtenez le résultat suivant :

    1.   s(813)   =   275           3 271
    2.   s(275)   =   97           52 11
    3.   s(97)   =   1           97

    La colonne de droite donne la décomposition en facteurs premeirs du nombre n dont on calcule la fonction s(n). ainsi dans cet exemple 3 et 271 sont les facteurs premiers de 813.

    s(813) est la somme des diviseurs propres de 813, c'est à dire tous les entiers qui divisent 813 à l'exception de 813 lui même. Dans l'exemple il n'y en a que trois : 1, 3 et 271, et donc :

    s(813) = 1 + 3 + 271 = 275.

     Et le processus continue avec s(275) = s(s(813)) etc... jusqu'à ce que l'on atteigne un nombre premier, dont la fonction s donne 1.

    Si l'on clique sur "Consecutive" au lieu de "Go" on obtient la valeur de s pour 813 et les nombres suivants, avec la décomposition en facteurs premiers à chaque fois.

    La séquence aliquote pour le nombre 3018 que nous cherchions hier ne converge pas semble t'il, en tout cas le programme se limite à 70 lignes, voici le résultat :

    1.   s(3018)   =   3030           2 3 503
    2.   s(3030)   =   4314           2 3 5 101
    3.   s(4314)   =   4326           2 3 719
    4.   s(4326)   =   5658           2 3 7 103
    5.   s(5658)   =   6438           2 3 23 41
    6.   s(6438)   =   7242           2 3 29 37
    7.   s(7242)   =   8310           2 3 17 71
    8.   s(8310)   =   11706           2 3 5 277
    9.   s(11706)   =   11718           2 3 1951
    10.   s(11718)   =   19002           2 33 7 31
    11.   s(19002)   =   19014           2 3 3167
    12.   s(19014)   =   19026           2 3 3169
    13.   s(19026)   =   28398           2 32 7 151
    14.   s(28398)   =   28410           2 3 4733
    15.   s(28410)   =   39846           2 3 5 947
    16.   s(39846)   =   42954           2 3 29 229
    17.   s(42954)   =   42966           2 3 7159
    18.   s(42966)   =   76842           2 32 7 11 31
    19.   s(76842)   =   94038           2 33 1423
    20.   s(94038)   =   121002           2 3 7 2239
    21.   s(121002)   =   166230           2 3 7 43 67
    22.   s(166230)   =   266202           2 32 5 1847
    23.   s(266202)   =   336582           2 32 23 643
    24.   s(336582)   =   446778           2 33 23 271
    25.   s(446778)   =   521280           2 32 24821
    26.   s(521280)   =   1281612           26 32 5 181
    27.   s(1281612)   =   1708844           22 3 106801
    28.   s(1708844)   =   1378324           22 31 13781
    29.   s(1378324)   =   1153996           22 37 67 139
    30.   s(1153996)   =   865504           22 288499
    31.   s(865504)   =   1030544           25 17 37 43
    32.   s(1030544)   =   1035916           24 29 2221
    33.   s(1035916)   =   1035972           22 7 36997
    34.   s(1035972)   =   1957564           22 32 7 4111
    35.   s(1957564)   =   1992004           22 7 151 463
    36.   s(1992004)   =   1992060           22 7 71143
    37.   s(1992060)   =   5749380           22 33 5 7 17 31
    38.   s(5749380)   =   16632252           22 35 5 7 132
    39.   s(16632252)   =   35122724           22 32 7 13 5077
    40.   s(35122724)   =   42173404           22 7 13 47 2053
    41.   s(42173404)   =   48662404           22 7 13 115861
    42.   s(48662404)   =   48836284           22 7 733 2371
    43.   s(48836284)   =   51988804           22 7 31 56263
    44.   s(51988804)   =   53845946           22 72 265249
    45.   s(53845946)   =   50110534           2 7 11 31 11279
    46.   s(50110534)   =   25055270           2 25055267
    47.   s(25055270)   =   20044234           2 5 2505527
    48.   s(20044234)   =   15667766           2 73 61 479
    49.   s(15667766)   =   7833886           2 7833883
    50.   s(7833886)   =   4717154           2 29 31 4357
    51.   s(4717154)   =   2938774           2 13 397 457
    52.   s(2938774)   =   1482746           2 359 4093
    53.   s(1482746)   =   741376           2 741373
    54.   s(741376)   =   749386           212 181
    55.   s(749386)   =   531062           2 11 23 1481
    56.   s(531062)   =   395758           2 72 5419
    57.   s(395758)   =   251882           2 11 17989
    58.   s(251882)   =   125944           2 125941
    59.   s(125944)   =   166376           23 7 13 173
    60.   s(166376)   =   190264           23 7 2971
    61.   s(190264)   =   187736           23 17 1399
    62.   s(187736)   =   176104           23 31 757
    63.   s(176104)   =   154106           23 22013
    64.   s(154106)   =   85114           2 29 2657
    65.   s(85114)   =   42560           2 42557
    66.   s(42560)   =   79360           26 5 7 19
    67.   s(79360)   =   117056           29 5 31
    68.   s(117056)   =   126784           26 31 59
    69.   s(126784)   =   161760           26 7 283
    70.   s(161760)   =   349296           25 3 5 337

    si l'on veut continuer en relançant le programme pour le dernier résultat obtenu, à savoir 349296 il sort un message indiquant que cela ne plait pas du tout à Internet Explorer. Reste la possibilité de continuer au coup par coup, en cliquant non sur "Go" mais sur "Consecutive", ce qui donne :

    349296   603024     abundant           24 3 19 383

    603024   1048656     abundant           24 3 17 739

    1048656   2048368     abundant           24 3 7 3121

    etc..etc..etc...


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  • Mysterium magnum : le nombre 276

    Par 20121 dans nombres remarquables le 18 Mai 2009 à 11:08

    La notion intitulée en anglais "aliquot sequence" est expliquée sur les deux liens suivants (entre autres) qui contiennent de plus de nombreuses références :

    http://en.wikipedia.org/wiki/Aliquot_sequence

    http://www.aliquot.de/aliquote.htm

    Il s'agit d'une suite d'entiers dont chaque terme est la somme des diviseurs propres du terme précédent. Par diviseurs propres de n on entend tous les nombres qui divisent n à l'exception de n lui même. Si on écrit s(n) pour cette somme (le deuxième site cité plus haut emploie la notation i(n)) on a donc :

                      s(n) = σ(n) - n

    Prenons un exemple simple , en partant du nombre 4 : ses diviseurs propres sont 1 et 2. On a donc :

              s(4) = 2 + 1 = 3

    Puis on itère et on prend comme terme suivant : s(s(4)) = s(3) = 1. Et la suite se termine donc au troisième terme : 4, s4) = 3, 1.

    Par contre si l'on avait pris 6, qui est un nombre parfait, comme premier terme, on aurait une suite infinie, composée de 6 se suivant indéfiniment, puisque l'on a :

                       s(6) = 6

    Pour d'autres nombres, comme les nombres amiables, on a aussi une suite infinie, composée de cycles de période 2; ainsi par exemple les nombres 220 et 284 sont tels que : s(220) = 284 et s(284) = 220. La suite associée à 220 sera donc : 220, 284, 220, 284, etc... à l'infini.

    D'autres nombres sont dits sociables et donnent lieu à des cycles plus longs ; on connait de nombreux exemples de cycle de 5 ou autres; par exemple 1264460 donne la suite périodique :

                        1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, etc...

    D'autres nombres encore ne sont ni parfaits, ni amiables, ni sociables, mais abouitissent au bout d'un certain nombre d'itérations à un tel nombre, et la suite associée devient donc périodique à partir de ce rang; ainsi par exemple le nombre 95 donne:

                                    95, 25, 6, 6, 6, 6,....

    De tels nombres sont dits : aspirants.

    Les suites de nombres amiables et aspirants sont données sur le site de Sloane aux url suivants :

    http://www.research.att.com/~njas/sequences/A063990

    http://www.research.att.com/~njas/sequences/A063769

    Une suite dite "aliquot sequence" peut donc se terminer des façons suivantes :

    - soit par un nombre premier, suivi d'un 1 (puisque si p est premier, s(p) =1)

    -soit par la répétition indéfinie du même nombre (dans le cas d'un nombre parfait)

    -soit par une suite périodique

    Peut il exister des suites qui se prolongent à l'infini de manière non périodique ? c'est une conjecture, appelée de manière malheureuse "conjecture de Catalan" , car il y a une autre conjecture de Catalan bien plus célèbre qui n'a rien à voir, et n'est d'ailleurs plus une conjecture mais un théorme depuis 2002, qu'il n'existe pas de telles suites.

    Mais on n'a pas pu la démontrer encore, et il existe des nombres pour lesquels on a des doutes : en, dessous de mille, il en existe cinq, dits les "cinq de Lehmer" :

    276, 552, 564, 660, and 966

    Ces nombres donnent des suites qui ne se terminent pas, en poussant les limites de calcul des ordinateurs au maximum;ainsi pour le premier d'entre eux, soit 276, cela donne :

    http://www.aliquot.de/sequenzen/276.elf

    jusqu'au rang 1566... après on ne sait plus !

    Le nombre 138 a longtemps été un candidat sérieux, mais il a été montré que la suite atteint un maximum obtenu pour  s117(138) = 2x61x929x1587569, puis décroît ensuite jusqu'à  s177(138) = 1.

    Or 276 est le double de 138; et 552 est le double de 276.

     Passons maintenant au nombre 276, qui semble assez remarquable.

    L'article suivant, qui est en allemand, et d'orientation anthroposophique (le mouvement, considéré par certains comme une secte, fondé par Rudolf Steiner), souligne certaines caractéristiques étranges de ce nombre, qui semble avoir été reconnu dès la plus haute antiquité pour son "symbolisme" :

    http://www.aliquot.de/chartres/chartres.htm

    ainsi le labyrinthe de la cathédrale de Chartres compte 276 dalles !

    Et c'est le cas d'autres labyrinthes "sacrés", voir  : http://enugmis.wordpress.com/2007/03/06/enugmis-11-lenigme-des-labyrinthes-du-moyen-age/

    qui cite un certain nombre de cathédrales d'Europe du XIIème siècle, dont les labyrinthes se composent tous de 11 anneaux, et de 276 dalles.

    276 est le nombre triangulaire de 23, c'est à dire la somme des nombres jusqu'à 23:

              276 = 23x24/2 = 1 + 2 + 3 +.... + 21 + 22 + 23

    De même que 153,  somme des nombres de 1 à 17, apparaît dans l'Evangile de Jean lors de la "pêche miraculeuse", 276 apparaît dans les "Actes des apôtres", au chapitre 27, verset 37 : Paul et ses compagnons sont emmenés prisonniers sur un bateau qui vogue vers l'Italie, mais ils traversent une tempête; Paul, auquel un ange apparaît pour lui promettre que lui et tous ses compagnons auront la vie sauve, car "c'est la volonté de dieu qu'il comparaisse devant l'Empereur", rassure ses compagnons et les engage à prendre de la nourriture :

     "tous alors, reprenant courage, s'alimentèrent à leur tour; au total, nous étions 276 personnes à bord"

    J'ai fait remarquer que 276 est le double de 138 = 6x 23.

    or les nombres composés des chiffres 1,3 et 8 ont des propriétés remarquables : ils font leur apparition dans  les 183 "univers" de la plaine de vérité de Plutarque, les 318 hommes qui figurent dans un épisode de "Genèse", le titre "813" du célèbre roman de Maurice Leblanc, grand amateur d'occultisme. Voir :

    http://membre.oricom.ca/sdesr/nb318.htm 

    http://2012.over-blog.org/article-31052769.html

    pour le nombre 318.

    Passons maintenant à des propriétés d'ordre plus mathématique des nombres 276 et 23 (276 étant le triangulaire associé à 23).

    23 est premier, et l'on sait qu'à tout nombre premier p correspond un anneau Zp des résidus modulo p qui est un corps dans le cas où p est premier. Expliquons très sommairement ces points.

    Deux entiers sont congrus modulo p  :  a ≡ b (p) si la différence (a-b) est divisible par p. Cette relation de congruence est une relation d'équivalence, et l'on peut donc former des classes d'équivalence. Ces classes d'équivalence, qui par définition sont au nombre de p, seront les membres du nouvel anneau (qui est un corps) Zp . Et l'on procèdera aux opérations d'addition et de multiplication qui donneront la structure d'anneau ou de corps de manière évidente.

    prenons l'exemple concret de Z23  : la classe d'équivalence de 3 sera composée de tous les nombres entiers congrus à 3 modulo 23, c'est à dire les entiers de la forme 3 + 23 k (où k prend toutes les valeurs entières, positives ou négatives). La classe de 23 sera notée 0, ce sera l"élément neutre de l'addition. On montre (grâce à l'identité de Bezout) que tout élément, excepté 0, a un inverse pour la multiplication : Z23 est donc un corps, on vérifie facilement toutes les conditions d'associativité, de distributivité, etc...de plus, il s'agit d'un corps commutatif (cad commutatif pour la multiplication) d'après le célèbre théorème de Wedderburn qui affirme que tout corps fini est commutatif, et que son nombre d'éléments est de la forme pf , avec p premier.

    Dans tout corps, et notamment dans tout corps Zp , le groupe multiplicatif Zp*  (qui comprend les éléments inversibles, c'est à dire non nuls) est cyclique : on appelle racines primitives les générateurs de ce groupe, c'est à dire les éléments g tels que tout élément du groupe soit de la forme gr ; il est facile de voir que les éléments du groupe  Zp* , qui sont au nombre de (p-1), sont : 1 = g0  = gp-1, g , g2 ,...., gp-2  . On montre que les racines primitives sont au nombre de φ(p-1), qui désigne le nombre d'entiers compris entre 1 et p-2 qui sont relativement premiers à p-1, c'est à dire n'ont aucun facteur commun avec p-1.

    Les racines primitives sont utilisées par plusieurs auteurs spécialisés dans l'ésotérisme des nombres ou arithmosophie, particulièrement par l'auteur qui se fait appeler Dom Neroman , et qui a écrit plusieurs ouvrages très intéressants comme "La leçon de Platon", "La plaine de vérité" ou "Le nombre d'or".

    Mais on peut lui reprocher de ne pas expliquer, même sommairement comme nous le faisons ici, le mécanisme mathématique qui est "derrière" les phénomènes qu'il montre et qu'il désigne comme "magiques" ; il appelle les groupes multiplicatifs Zp*  dont nous avons parlé des "roues magiques".

    Il existe donc des roues magiques pour chaque nombre premier (en fait plus généralement pour chaque nombre de forme pa  ou 2pa mais ceci ne nous intéresse pas ici), une roue magique est associée à chacun des "générateurs", ou racines primitives, dont nous avons parlé.

    Ainsi , comme 23 et 29 sont premiers, il existe des roues magiques à 22 et 28 cases : elles sont utilisées par les arithmosophes pour étudier le sens qu'il disent "secret" des alphabets hébreu et arabe, et donc de la Bible et du Coran.

    Comme 277 est premier, il existe une roue magique 276, comprenant plusieurs versions , une pour chaque "racine primitive".

    Or, la spécificité de 23 et de Z23 est que la racine primitive minimale de 23 est 5, alors que pour tous les nombres premiers précédents les racines primitives minimales sont 2 ou 3.

    La "roue magique" 23 correspondant à la racine primitive 5, qui comprend 22 cases ou "rayons", est de la forme : 1,5, 52 = 2 (puisque 25 - 23 = 2), 53 = 10, 54 = 50 = 4 (puisque 50 est congru à 4 modulo 23) etc...

    Vous pouvez faire le calcul, les puissances successives de 5 (prises modulo 23) donnent toutes les valeurs de 1 à 22 (22 qui est aussi 511 ), jusqu'à revenir  à 1 avec : 522  .

     Quel est le sens de ceci ? rien de moins que de ramener la suite indéfinie des entiers à un nombre fini de classes d'équivalence, à hauteur de la raison humaine. On peut associer l'univers indéfini des entiers au cosmos "euclidien" infini, et les "univers" finis Zp aux cosmos "pythagoriciens" "locaux".

    D'une façon analogue, Bell associe à chaque "topos" ce qu'il appelle une "théorie locale" des ensembles, et situe cette avancée spirituelle en mathématiques en liaison avec la révolution relativiste en physique.

     Il y a, chez les arithmosophes sérieux (comme Abellio, Neroman, Ernst Bindel l'anthroposophe, ou d'autres) des "visons intuitives" très intéressantes, qui ne sont pas à négliger.

    Mais tout l'esprit du travail développé ici consiste à considérer comme "supérieure" à ces considérations "symboliques" la science véritable qu'est la théorie des nombres, qui s'appuie sur un véritable labeur mathématique de démonstration.

    Nous ne voulons pas nous cantonner dans la pure théorie arithmétique, puisque le "but" (si l'on peut employer ce terme) de la Mathesis universalis (dont nous cherchons un accès "premier" dans les Nombres) est religieux-spirituel, et non pas technico-scientifique, mais il s'agit pour nous de "créer" une nouvelle "science spirituelle" des nombres en nous appuyant sur la théorie mathématique, sans négliger, ignorer ou mépriser ses aspects les plus techniques, et leur fascinante difficulté.

    Seul Raymond Abellio travaille avec un esprit analogue, sans doute est ce dû à ses études à Polytechnique, mais il ne va pas très loin dans l'étude mathématique, et retombe vite dans des considérations "qabbalistiques" qui pour nous sont dépassées.

    La science moderne (européenne, née en Europe au 17 ème siècle)  est par essence supérieure à tous les systèmes anciens orientaux, quelle que puisse être la valeur de ceux ci. Mais je m'en expliquerai plus à fond dans un autre article à venir.

    Et pour finir en beauté, une petite concession au mystère : j'ai parlé plus haut des propriétés surprenantes des nombres formés avec les trois chiffres 1,8 et 3, en commençant par 138 , et 813.

    Je rappelle par exemple que 8 et 13 sont des termes adjacents de la suite de Fibonacci, caractérisée par la relation de récurrence :

                               an  =  a n-1  + an-2

    qui intervient dans de multiples domaines mathématiques, et qui est donnée ici :  http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000045

    Les cinq nombres de Lehmer (Lehmer five) dont les séquences aliquotes n'ont pas de fin connue à ce jour sont :

     276 = 2x 138, 552 = 2x 276, 564, 660 et 966.

    Ce sont les cinq seuls nombres inférieurs à 1000 ayant cette propriété : http://www.aliquot.de/lehmer.htm

    Si l'on fait leur somme on trouve : 3018 !!!!!!!!!!!

    toujours 1,8 et 3....

    Et il existe une "roue magique" à 3018 termes, car 3019 est un nombre premier, comme vous pouvez le vérifier sur le site de Sloane :

    http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000040 (nombres premiers)

    http://www.research.att.com/~njas/sequences/a000040.txt (liste donnant les nombres premiers ayant le rang 1 à 100000).

    3019 est le 433 ième nombre premier, et 433 est le 84 ième nombre premier.

    Et 813 = 433 + 380 .... toujours 3 et 8.

    Quant à 3018, il sera intéressant d'étudier la roue magique, oups pardon le groupe multiplicatif correspondant, ainsi que la séquence aliquote : la décomposition de 3018 en facteurs premiers est : 2 x 3 x 503, donc la sommes des diviseurs propres est :

                    s(3018) = 1 + 2 + 3 + 6 + 503 + 1006 + 1509 = 3030   !!!!!  (le nombre 3018 est abondant, sa sommes des diviseurs propres le dépasse de 12 : 12 qui est le premier nombre abondant !!!).

    Si l'on analyse un peu plus loin, on est conduit aux nombres de la forme 6p, où p est premier, qui ont tous cette propriété que :

                                                     s(n) = n + 12

    A continuer, en notant que 3030 = 2 x 1515 et que les propriétés symboliques du nombre 515 sont nombreuses, et ont même fait l'objet d'un livre ( ce nombre est cité par Dante en particulier).

    D'ailleurs 515 = 1 + 2 + 3 + 6 + 503 (les diviseurs premiers de 3018 , plus 6 et 1)

    enfin, assez plaisamment, 3018 est relié à 2012, l'année qui marque la fin du calendrier Maya et qui d'après de nombreux "ésotéristes" signera la fin de notre humanité actuelle (mais ce sont sans doute des balivernes), 2012 qui a été choisie pour nommer ce blog : http://2012.blogg.org

    3018 = 3 x 1006 = 6x 503  ; 2012 = 4 x 503


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  • relations entre nombres parfaits et polygonaux

    Par 20121 dans nombres remarquables le 15 Mai 2009 à 12:22

    Les nombres polygonaux sont formés de manière "géométrique", en ajoutant à un point (nombre 1) des points disposés en polygone : triangle pour les nombres triangulaires, carré pour les nombres carrés, etc... Ceci est expliqué sur :

    http://mathworld.wolfram.com/PolygonalNumber.html

    qui donne aussi la formule de calcul :

    prn = n/2 [(r-2)n - (r-4)]  pour le n-ième nombre polygonal d'ordre r (r= 3 pour les triangulaires, 4 pour les carrés, 5 pour les pentagonaux , etc..)

    Pour les nombres hexagonaux , r = 6 :

    http://mathworld.wolfram.com/HexagonalNumber.html

    la formule donne bien : Hn = n(2n-1)

    La suite des nombres hexagonaux est ici :  http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000384  :

     0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, etc..

    Un concept tout différent est celui des nombres parfaits, qui sont les nombres égaux à la somme de leurs diviseurs . Le premier nombre parfait est 6 ; les diviseurs de 6 sont : 1,2 et 3, or 6 = 1 + 2 + 3.

    L'on définit la fonction arithmétique σ comme somme des diviseurs d'un nombre en comptant le nombre lui même comme diviseur.

    On a alors  σ (6) = 12 , et les nombres parfaits sont tels que : σ (n) = 2n

    Les nombres parfaits commencent par : 6,28,496,8128, etc..., leur série est donnée ici :

    http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000396

    Les nombres parfaits pairs sont tous donnés par un formule connnue, qui a rapport avec les célèbres nombres de Mersenne:

    http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000225

    qui sont les nombres de la forme : 2n - 1  . Quand un nombre de Mersenne est premier, ce qui se produit par exemple dans le cas de 7 , 31 ou 127, alors le nombre obtenu en multipliant par 2(n-1) ce nombre de Mersenne (qui est égal à 2n -1 ) est parfait !

    Les nombres parfaits pairs sont donc de la forme : 2(n-1) (2n -1) , lorsque  2n -1 est premier.

    On ignore encore s'il existe des nombres parfaits impairs, mais l'on pense que non, sans avoir pu encore le démontrer. Un théorème récent indique cependant que s'il en existe, ils doivent être supérieurs à 10300 , ce qui est énorme !

    Un concept plus général est celui de nombre superparfait.

    Est dit (m,k)-parfait un nombre n tel que la fonction sigma appliquée à n en itérant m fois est le produit de n par k. On note σ_m

     la fonction obtenue en itérant sigma m fois : c'est à dire sigma(sigma(...(sigma(n)))) avec m itérations. Un nombre n est donc (m,k)-parfait si:   

                         σ_m (n) = kn

    Les nombres parfaits sont donc les nombres (1,2)-parfaits, les nombres superparfaits sont les nombres (2,2)-parfaits, leur liste est donnée par : 

    http://www.research.att.com/~njas/sequences/A019279

    On vérifie alors que les nombres hexagonaux ayant un indice superparfait (appartenant à la série 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144 etc..) sont les nombres parfaits !!!

    cela est facile à comprendre d'après la formule.

    En admettant (ce qui n'est toujours pas démontré de nos jours) qu'il n'existe pas de nombres parfaits ou superparfaits impairs, il y a identité entre les deux séries : nombres parfaits et nombres hexagonaux d'indice les nombres (2,2)-parfaits.

    Exercices : chercher des généralisations : ainsi un nombre (m,k)-parfait serait il un nombre hexagonal (ou polygonal d'un ordre plus général) ayant comme indice les nombres (m-1,k) parfaits ?

    Les nombres généraux (m,k)-parfaits sont ils tous pairs ? (ceci est évidemment impossible à démontrer par nous, puisque ce serait une généralisation de la conjecture selon laquelle les nombres parfaits seraient tous pairs, qui n'a toujours pas été démontrée par les as de la mathématique mondiale) 


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  • Travaux de Lubomir Alexandrov sur les nombres premiers

    Par 20121 dans Nombres premiers le 14 Mai 2009 à 18:32

    Deux articles sur arxiv :

    http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0105/0105154v1.pdf

    http://arxiv.org/abs/math/9811096

     

    plus ceux ci, plus récents :

    http://arxiv.org/find/math/1/au:+Alexandrov_L/0/1/0/all/0/1

    Cela permet de classer les nombres premiers en une "matrice" à deux dimensions...

    Pour chaque nombre composé p(0), auxquels on adjoint 1 (qui n'est pas considéré comme premier) on définit une suite infinie de nombres premiers définis la récurrence :

    p(k+1) = pi (p(k))

    où pi est la fonction qui au rang n associe le premier de rang n dans la suite des nombres premiers :

    http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000040

    Alexandrov montre dans le second article que cela donne exhaustivement les nombres premiers, sans répétitions

    ainsi à 1 est associée la suite :  2 = p(1), 3 = p(2), 5 ,11,31,127 (on remarque 3 nombres premiers de Mersenne : 3,31 et 127 !!)

    à 4 est associée :  7  17 59  277

    à 6 :  13  41  179

     

    à 8 :  19  67  331

    Un colonne spéciale est celle qui suit immédiatement la colonne des nombres composés. elle commence par : 2,7,13,19

    Une recherche sur le site de Sloane nous donne :

    http://www.research.att.com/~njas/sequences/A007821

    Quant à la première ligne de la matrice, associée à 1 : 2,3,5, 11,31,127

    elle est donnée sur le site par :

    http://www.research.att.com/~njas/sequences/A007097

    Il est curieux de constater que si on enlève le 3 et ne retient que 2,5,11,31 on tombe sur plusieurs suites remarquables :

    http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=2%2C5%2C11%2C31&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search

    mais si l'on essaye en poursuivant avec 127 (donc 2  5 11 31 127) cela ne donne plus rien !!!


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  • nouvelles recherches sur les nombres premiers

    Par 20121 dans Nombres premiers le 14 Mai 2009 à 17:31

    Le site "Integer sequences" permet de trouver de nombreuses séquences d'entiers, dont bien sûr les nombres premiers, les nombres de Fibonacci, etc... :

    http://www.research.att.com/~njas/sequences/

    Ce site distingue des "ordres de nombres premiers" (orders of primeness) :

    http://www.borve.org/primeness/FOP.html

    Soit la suite des nombres premiers : http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000040

    dont on dispose de la table du rang 1 jusqu'à 100000:

    http://www.research.att.com/~njas/sequences/a000040.txt

    On peut ne retenir que ceux, parmi les premiers, qui ont un rang qui est à son tour premier : cela donnera un sous-ensemble de nombres premiers, obtenu en éliminant tous ceux qui ont un rang composé (non premier)

    Et on itère le processus : parmi ces derniers, on élimine tous ceux qui ont un rang composé, etc...

    On obtient finalement un "crible" semblable au crible d'Erathostene , défini par la fonction F définie pour chaque nombre premier:

    F(p) = 1 si p est premier de rang composé : 2, 7 13, 19, 23, 29, 37, 43, 47,...

    F(p) = 2  si p est de rang premier mais pas de rang premier dans la nouvelle suite : (ce que l'on dira être "premier à l'ordre 2", traduisant ainsi l'anglais primeth prime) :  3, 17, 41, 67, 83, 109, 157, 191, 211

    et ainsi de suite :

    Primes with F(p)=3: 5, 59, 179, 331, 431, 599, 919, 1153, 1297,...

     Primes with F(p)=4: 11, 277, 1063, 2221, 3001, 4397, 7193, 9319, 10631, ...

     Primes with F(p)=5: 31, 1787, 8527, 19577, 27457, 42043, 72727, 96797,...

    on obtient ainsi un criblage selon la valeur de F (qui varie de 1 à l'infini)


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